El Álgebra elemental es estudiada y con mucho detalle en la Enseñanza Española. Se inicia casi en Primaria y continua hasta 4º de ESO y 1º de Bachillerato.
Pero a pesar de tantos años de estudio, los escolares siguen cometiendo errores muy graves en operaciones algebraicas. Vamos a exponer algunos.
1) Al querer simplificar la expresión (4 + 2) / 2 es muy frecuente eliminar, suprimir, tachar el 2 del numerador y el 2 del denominador, y dar el resultado de 4. Si nos fijamos, el numerador nos da 6, que al dividirlo por dos, queda finalmente 3. Quizás con números no se comete el error, pues podemos realizar la operación. Pero si la expresión es algebraica (a + b) / a , se da como solución b. En este caso no podemos simplificar, y como mucho expresarlo así: a/a + b/a = 1 + b/a. Es decir tenemos que dividir los dos sumandos por el denominador.
Así en la primitiva expresión (4 + 2) / 2 = 4/2 + 2/2 = 2 + 1 = 3
Y es que confunden con (4 . 2) / 2 que si es igual a 4, al cancelar el 2
2) En expresiones de cuadrados de una suma o resta (igualdad notable) (a + b) elevado al cuadrado, es muy frecuente el error (a + b) elevado al cuadrado = a cuadrado + b cuadrado. Y es que si realizamos la multipicaciób de (a + b) . (a + b) = a.a + a.b + b.a + b.b = a cuadrado + 2 a.b + b cuadrado. Se "comen" el doble producto. Por tanto que quede claro que:
( a + b ) al cuadrado = a cuadrado + 2.a.b + b cuadrado
( a - b ) al cuadrado = a cuadrado - 2.a.b + b cuadrado
Esta omisión del doble producto es debido a que confunden la suma con el producto, ya que
( a, b ) al cuadrado = ( a cuadrado ) . ( b cuadrado )
3) En el desarrollo de la diferencia de cuadrados a cuadrado - b cuadrado se olvidan de que es ( a + b ). ( a - b )
( a + b ). ( a - b ) = a cuadrado - b cuadrado
Ejemplos: (2a + 3b) al cuadrado = 4.(a cuadrado) + 2.(2a).(3b) + 9.(b cuadrado) =
= 4.(a cuadrado) +12. a.b + 9.(b cuadrado)
( 2/3 a + 5b ) . (2/3 a - 5b) = (2/3 a) cuadrado - (5b) cuadrado =
= 4/9.( a cuadrado) - 25.( b cuadrado)
Ejercicios para practicar, con la Solución
a) ( 5/2 a + 3 b) al cuadrado S: 25/4.(a cuadrado) + 15 ab + 9.(b cuadrado)
b) (25 a - 5b)/ 5 S: 5a - b
c) (2 - 4x). (2 + 4x) S: 4 - 16 (x cuadrado)
d) (14 x - 20 y - 2 xy) / 2 S: 7x - 10y - xy
e) (2x - 4y) elevado al cuadrado / 4 S: x cuadrado - 4xy + 4(y cuadrado)
f) ( 6 a - 3 b) al cuadrado S: 36(a cuadrado) - 36ab + 9(b cuadrado)
g) (( x y) cuadrado - 1)) . (( xy) cuadrado + 1)) S: (xy) a la cuarta - 1